Dobrý deň, právne nie je možné, aby váš syn mal dve priezviská a to z jednduchého dôvodu, že maloletý môže mať priezvisko len také, aké ma jeho rodič /matka, otec/, čo vyplýva ust. § 4 ods. 2 zákona o rodine :
"Štátny občan Slovenskej republiky po narodení nadobúda spoločné priezvisko rodičov, alebo, ak majú priezviská rôzne, nadobúda priezvisko jedného z nich určené dohodou pri uzavretí manželstva,2) prípadne, ak rodičia nie sú spolu zosobášení a majú rôzne priezviská, nadobúda priezvisko podľa dohody rodičov. Dohodou možno určiť iba priezvisko, ktoré v čase, keď k dohode došlo, má jeden z rodičov."
Riešením vo vašom prípade je dohodnúť sa s otcom dieťaťa, aby maloletý mal vaše priezvisko. Ak by k dohode nedošlo, potom by ste museli podať návrh na súd o udelelnie súhlasu na podanie žiadosti o zmenu priezviska maloletého.